(EEAR - CFS 1/2025) - QUESTÃO

Resolvendo a equação 3x + 6x + 12x + ... + 384x = 3060, obtém-se x igual a _____ .

a) 2 

b) 4 

c) 6 

d) 7 

Resolvendo temos: 

$$3x + 6x + 12x + \dots + 384x = 3060$$

Passo 1: Identificar a progressão

Note que os coeficientes de $x$ formam uma progressão geométrica (PG):

$$3x,6x,12x,24x,\dots ,384x$$

Logo, os termos da PG são:

$$3,6,12,24,\dots ,384$$

É uma PG de razão $r = \frac{6}{3} = 2$, e primeiro termo $a_1 = 3$.

Queremos descobrir quantos termos tem essa PG até chegar ao 384.

Passo 2: Achar o número de termos da PG

A fórmula do termo geral de uma PG é:

$$a_n=a_1\cdot r^{n-1}$$

Substituindo:

$$384=3\cdot 2^{n-1}$$

Dividindo ambos os lados por 3:

$$128 = 2^{n-1} \Rightarrow n - 1 = \log_2 128 = 7 \Rightarrow n = 8$$

Passo 3: Somar os termos com $$xx

Agora sabemos que a equação tem 8 termos, todos da forma $(\text{termo da PG}) \cdot x$.
Ou seja:

$$(3+6+12+24+48+96+192+384)x=3060$$

Vamos somar os coeficientes da PG:

É uma PG de 8 termos, com:

• $a_1 = 3$
  

• $r = 2$
  

• $n = 8$
  

A soma de uma PG é:

$$S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} = 3 \cdot \frac{2^8 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot (256 - 1) = 3 \cdot 255 = 765$$

Logo:

$$765x=3060\Rightarrow x=\frac{3060}{765}=4$$