(EEAR - CFS 1/2025) - QUESTÃO

Ao dividir o polinômio P(x) por (x − 2) obtém-se resto 3 e ao dividir P(x) por (x − 3) obtém-se resto 12. Então, ao dividir P(x) por (x − 2).(x − 3) obtém-se resto ________ .

a) x² − 5 

b) −3x + 6 

c) 2x − 10 

d) 9x − 15

Resolvendo temos: 

Sabemos que, ao dividir um polinômio $P(x)$ por um divisor linear $(x - a)$, o resto da divisão é simplesmente $P(a)$. Então, a partir das informações fornecidas:

1. Ao dividir $P(x)$ por $(x - 2)$, o resto é 3. Isso significa que:

   $$P(2) = 3$$
   

2. Ao dividir $P(x)$ por $(x - 3)$, o resto é 12. Isso significa que:

   $$P(3) = 12$$
   

Agora, queremos encontrar o resto quando $P(x)$ é dividido por $(x - 2)(x - 3)$. O resto dessa divisão será um polinômio de grau menor que 2, ou seja, um polinômio de grau 1, da forma $R(x) = ax + b$.

Então, queremos encontrar $R(x) = ax + b$, sabendo que:

• $R(2)=P(2)=3$

• $R(3)=P(3)=12$

Substituindo essas condições na expressão $R(x) = ax + b$, temos o seguinte sistema de equações:

1. $2a + b = 3$
   

2. $3a+b=12$

Agora, resolvemos o sistema:

Subtraindo a equação 1 da equação 2:

$$(3a + b) - (2a + b) = 12 - 3$$
$$a = 9$$

Substituindo $a = 9$ na equação 1:

$$2(9) + b = 3$$
$$18 + b = 3$$
$$b = -15$$

Portanto, o resto $R(x)$ é:

$$R(x)=9x-15$$