(EEAR - CFS 1/2025) - QUESTÃO

A equação geral da reta u que passa pelo ponto de interseção das retas r: x + y = 3 e s: 2x − y = 0 e que é perpendicular à reta de equação t: x + 5y + 6 = 0 é ________.

a) 5y − 3x + 1 = 0 

b) 3y − 5x + 5 = 0 

c) 2y − x − 3 = 0 

d) y − 5x + 3 = 0 

Resolvendo temos:

1. Encontrar o ponto de interseção das retas r e s

Temos as equações:

• $r: x + y = 3$
  

• $s: 2x - y = 0$
  

Vamos resolver esse sistema:

Passo 1: Da equação de $s$:

$$2x - y = 0 \Rightarrow y = 2x$$

Passo 2: Substituir em $r$:

$$x + y = 3 \Rightarrow x + 2x = 3 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow y = 2x = 2$$

- O ponto de interseção é $(1, 2)$

2. A reta $u$ passa por (1, 2) e é perpendicular à reta $t$

A equação da reta $t$ é:

$$x + 5y + 6 = 0$$

Vamos reescrevê-la na forma reduzida $y = mx + b$, para identificar o coeficiente angular:

$$x + 5y + 6 = 0 \Rightarrow 5y = -x - 6 \Rightarrow y = -\frac{1}{5}x - \frac{6}{5}$$

- A inclinação de $t$ é $m_t = -\frac{1}{5}$

Como $u$ é perpendicular, seu coeficiente angular será o oposto do inverso de $m_t$:

$$m_u = 5$$

3. Agora escrevemos a equação da reta $u$

Sabemos que:

• passa por $(1, 2)$
  

• tem inclinação $m = 5$
  

Usamos a equação da reta:

$$y - y_0 = m(x - x_0) \Rightarrow y - 2 = 5(x - 1) \Rightarrow y - 2 = 5x - 5 \Rightarrow y = 5x - 3 \Rightarrow 5x - y - 3 = 0$$

Multiplicando por -1 para ajustar aos modelos das alternativas:

$$-5x+y+3=0\Rightarrow y-5x+3=0$$