(EEAR - CFS 1/2025) - QUESTÃO

Sabe-se que a função quadrática f(x) = ax² + bx + c tem vértice V = (2,−1) e que uma de suas raízes é 3. Então, o valor de a + b + c é _______ . 

a) −2 

b) −1 

c) 0 

d) 3

Resolvendo temos:

Sabemos que:

• $f(x) = ax^2 + bx + c$
  

• Vértice $V = (2, -1)$
  

• Uma das raízes é $x = 3$.

- Relações do vértice

O vértice de uma parábola está em:

$$x_v = -\frac{b}{2a}$$

Logo:

$$2 = -\frac{b}{2a} \Rightarrow b = -4a$$

E o valor de $f(2) = -1$:

$$a(2)^2 + b(2) + c = -1$$
$$4a + 2b + c = -1$$

Substituindo $b = -4a$:

$$4a + 2(-4a) + c = -1$$
$$4a - 8a + c = -1$$
$$-4a + c = -1 \Rightarrow c = 4a - 1$$

- Usando a raiz $x = 3$

Como $f(3) = 0$:

$$a(3)^2 + b(3) + c = 0$$
$$9a+3b+c=0$$

Substituindo $b = -4a$ e $c = 4a - 1$:

$$9a + 3(-4a) + (4a - 1) = 0$$
$$9a - 12a + 4a - 1 = 0$$
$$(9 - 12 + 4)a - 1 = 0$$
$$a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1$$

- Encontrando $b$ e $c$

$$b = -4a = -4$$
$$c = 4a - 1 = 4(1) - 1 = 3$$

- Calculando $a + b + c$

$$a+b+c=1-4+3=0$$