(EEAR - CFS 1/2025) - QUESTÃO

Se os pontos (−2, a), (1, b) e (3, 7) estão alinhados, então para a = _____ tem-se b = _____. 

a) 2; 1 

b) 2; 2 

c) −8; 1 

d) −8; 2 

Resolvendo temos:

Os pontos dados são:

$$(-2, a), \quad (1, b), \quad (3, 7)$$

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Passo 1: Declividade entre $(-2, a)$ e $$(3,7)(3, 7)

A declividade $m$ é dada por:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - a}{3 - (-2)} = \frac{7 - a}{5}$$

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Passo 2: Declividade entre $(1, b)$ e $(3, 7)$

$$m = \frac{7 - b}{3 - 1} = \frac{7 - b}{2}$$

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Passo 3: Igualando as declividades

$$\frac{7 - a}{5} = \frac{7 - b}{2}$$

Multiplicando cruzado:

$$2(7 - a) = 5(7 - b)$$
$$14 - 2a = 35 - 5b$$
$$5b - 2a = 21 \quad \text{(Equação 1)}$$

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Passo 4: Declividade entre $(-2, a)$ e $(1, b)$

$$m = \frac{b - a}{1 - (-2)} = \frac{b - a}{3}$$

Esta também deve ser igual a $\frac{7 - a}{5}$:

$$\frac{b - a}{3} = \frac{7 - a}{5}$$

Multiplicando cruzado:

$$5(b - a) = 3(7 - a)$$
$$5b - 5a = 21 - 3a$$
$$5b - 2a = 21$$

✅ Esta é a mesma equação da etapa anterior, então tudo confere.

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Passo 5: Testando as opções

A equação que temos é:

$$5b - 2a = 21$$

• a) $a = 2, b = 1$ → $5(1) - 2(2) = 5 - 4 = 1 \neq 21$ 
• b) $a = 2, b = 2$ → $5(2) - 2(2) = 10 - 4 = 6 \neq 21$ 
• c) $a = -8, b = 1$ → $5(1)-2(-8)=5+16=21\text{✅}$
• d) $a = -8, b = 2$ → $5(2) - 2(-8) = 10 + 16 = 26 \neq 21$ 

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- Resposta

$$\boxed{a = -8; \ b = 1}$$

Resposta correta: c) −8; 1.

Usando Determinantes temos:

Para verificar se três pontos estão alinhados usando determinante, usamos a seguinte fórmula:

Para os pontos $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$, eles estão colineares se:

$$\mid \begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\mid =0$$

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Passo 1: Montar o determinante

Os pontos são:

$$(-2, a), \quad (1, b), \quad (3, 7)$$

Então o determinante é:

$$\begin{vmatrix} -2 & a & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 3 & 7 & 1 \end{vmatrix} = 0$$

Passo 2: Calcular o determinante

O determinante 3×3 é:

$$-2 \begin{vmatrix} b & 1 \\ 7 & 1 \end{vmatrix} - a \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & b \\ 3 & 7 \end{vmatrix} = 0$$

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Subdeterminantes:

1. $\begin{vmatrix} b & 1 \\ 7 & 1 \end{vmatrix} = b\cdot 1 - 1\cdot 7 = b - 7$
   
2. $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot 1 - 1\cdot 3 = 1 - 3 = -2$
   
3. $\begin{vmatrix} 1 & b \\ 3 & 7 \end{vmatrix} = 1\cdot 7 - b \cdot 3 = 7 - 3b$
   

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Passo 3: Substituir no determinante

$$-2(b - 7) - a(-2) + (7 - 3b) = 0$$
$$-2b + 14 + 2a + 7 - 3b = 0$$
$$2a - 5b + 21 = 0$$
$$2a-5b+21=0⟹5b-2a=21$$

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Passo 4: Resolver para $a$ e $b$ usando a tabela de opções

• c) $a = -8, b = 1$ → $5(1)-2(-8)=5+16=21\text{<br>}$

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- Resposta pelo determinante

$$\boxed{{\displaystyle a=-8,b=\mathrm{1<span\; style="font-family:\; Cambria;\; font-size:\; 17.6px;"></span>}}}$$