(EEAR - CFS 1/2025) - QUESTÃO

Uma partícula realiza Movimento Harmônico Simples, de tal forma que sua velocidade máxima é de 5π/3 cm/s, sua aceleração máxima de 5π²/18 cm/s² e a fase inicial do  movimento é nula. Determine a elongação, em cm, no instante igual a 2 s. 

a) 0 

b) 2 

c) 5 

d) 10  

Vamos resolver passo a passo usando as equações do Movimento Harmônico Simples (MHS).

- Dados fornecidos:

• Velocidade máxima:
  $v_{\text{máx}} = \frac{5\pi}{3} \ \text{cm/s}$
  

• Aceleração máxima:
  $a_{\text{máx}} = \frac{5\pi^2}{18} \ \text{cm/s}^2$
  

• Fase inicial:
  $\varphi = 0$
  

• Instante:
  $t = 2 \ \text{s}$

1. Relações no MHS

Para o MHS, temos:

• Velocidade máxima:

  $$v_{\text{máx}} = \omega A$$
  

• Aceleração máxima:

  $$a_{\text{máx}} = \omega^2 A$$

2. Encontrar A e ω

Dividindo as duas equações:

$$\frac{a_{\text{máx}}}{v_{\text{máx}}} = \frac{\omega^2 A}{\omega A} = \omega$$

Substituindo os valores:

$$\omega = \frac{\frac{5\pi^2}{18}}{\frac{5\pi}{3}} = \frac{5\pi^2}{18} \cdot \frac{3}{5\pi} = \frac{3\pi}{18} = \frac{\pi}{6} \ \text{rad/s}$$

Agora, achamos a amplitude $A$:

$$v_{\text{máx}} = \omega A \Rightarrow A = \frac{v_{\text{máx}}}{\omega} = \frac{5\pi/3}{\pi/6} = \frac{5\pi}{3} \cdot \frac{6}{\pi} = 10 \ \text{cm}$$

3. Equação da elongação (posição)

Sabemos que:

$$x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)$$

Como a fase inicial é nula ($\varphi = 0$):

$$x(t) = A \cos(\omega t)$$

Substituindo:

$$x(2) = 10 \cos\left( \frac{\pi}{6} \cdot 2 \right) = 10 \cos\left( \frac{\pi}{3} \right)$$

Sabemos que $\cos(\pi/3) = \frac{1}{2}$, então:

$$x(2)=10\cdot \frac{1}{2}=5\text{ cm}$$