(EEAR - CFS 1/2024) - QUESTÃO

Ao inserir x meios aritméticos entre 1 e x² , obtém-se uma P.A. de razão r. Se x for igual a 7, então r é igual a _____. 

a) x 

b) x + 1 

c) x + 2 

d) x − 1 

Enunciado:

Ao inserir $x$ meios aritméticos entre $1$ e $x^2$, obtém-se uma P.A. de razão $r$. Se $x = 7$, então $r$ é igual a:

Passo 1: Compreender a P.A. com meios aritméticos

Se inserimos $x$ meios aritméticos entre $1$ e $x^2$, então:

• A sequência é uma progressão aritmética (P.A.) que começa em $a_1 = 1$ e termina em $a_{x+2} = x^2$.

• Há um total de $x + 2$ termos (porque temos $x$ meios aritméticos entre os extremos 1 e $x^2$, então 1 + x + 1 = x + 2).

A fórmula do n-ésimo termo de uma P.A. é:

$$a_n = a_1 + (n - 1)r$$

Aplicando para o último termo $a_{x+2} = x^2$, temos:

$$x^2 = 1 + (x + 2 - 1)r = 1 + (x + 1)r$$

Passo 2: Isolar $r$

$$x^2 = 1 + (x + 1)r \\ x^2 - 1 = (x + 1)r \\ r = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$$

Note que $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$, então:

$$r = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1}$$

Cortando $x + 1$ (pois $x \neq -1$):

$$r = x - 1$$

Passo 3: Substituir $x = 7$

$$r=7-1=\boxed{{\displaystyle 6}}$$