(EEAR - CFS 1/2024) - QUESTÃO

Em um pentágono regular ABCDE, as mediatrizes dos lados AB e BC formam um ângulo, oposto ao vértice B, cuja medida é _____.

a) 36° 

b) 54° 

c) 72° 

d) 108° 

Dado:

Temos um pentágono regular $ABCDE$.

Características de um pentágono regular:

• Todos os lados têm o mesmo comprimento.

• Todos os ângulos internos têm a mesma medida.

• A figura é simétrica.

Objetivo:

Achar o ângulo entre as mediatrizes dos lados $AB$ e $BC$, oposto ao vértice $B$.

1. Mediatriz de um segmento

A mediatriz de um segmento:

• É uma reta perpendicular ao segmento.

• Passa pelo ponto médio do segmento.

Assim:

• A mediatriz de $AB$ é perpendicular a $AB$.

• A mediatriz de $BC$ é perpendicular a $BC$.

Queremos o ângulo entre essas duas mediatrizes, que chamaremos de $\theta$, no ponto oposto ao vértice B, ou seja, do lado de fora do ângulo $ABC$.

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2. Qual é o ângulo entre os lados AB e BC?

Em um pentágono regular, cada ângulo interno mede:

$$\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ$$

Portanto, o ângulo interno em $B$, ou seja, $\angle ABC = 108^\circ$.

3. Entendendo o ângulo entre as mediatrizes

As mediatrizes são perpendiculares aos lados $AB$ e $BC$.

Vamos pensar nas direções dos lados:

• O ângulo entre os lados $AB$ e $BC$ é $108^\circ$.

• Então, o ângulo entre suas normais (ou seja, suas mediatrizes) será:

$$180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$$

- Isso porque o ângulo entre duas perpendiculares aos lados será o suplementar do ângulo entre os próprios lados.