(EEAR - CFS 1/2024) - QUESTÃO

Seja f(x) = ax + b uma função polinomial do 1º grau, decrescente, tal que f(3) = 5. Assim, é possível que ________.

a) b = 3 

b) a = 2 

c) f(1) = 4 

d) f(6) = 1 

Temos a função polinomial do 1º grau:

$$f(x) = ax + b$$

E as informações:

• Função decrescente → Isso significa que a < 0

• f(3) = 5 → Substituindo na função:

  $$a \cdot 3 + b = 5 \Rightarrow 3a + b = 5$$

Vamos analisar cada alternativa com isso em mente.

a) b = 3

Substituímos na equação:

$$3a + 3 = 5 \Rightarrow 3a = 2 \Rightarrow a = \frac{2}{3}$$

Mas $a = \frac{2}{3}$ é positivo, e a função é decrescente ⇒ falsa.

b) a = 2

Substituindo na equação:

$$3 \cdot 2 + b = 5 \Rightarrow 6 + b = 5 \Rightarrow b = -1$$

Mas $a = 2$ é positivo ⇒ função crescente, e queremos uma função decrescente ⇒ falsa.

c) f(1) = 4

Vamos ver se isso é compatível com a equação $3a + b = 5$.
Assumimos $f(1) = a \cdot 1 + b = 4$ ⇒

$$a + b = 4$$

Agora temos um sistema:

$$\begin{cases} 3a + b = 5 \quad \text{(1)} \\ a + b = 4 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Subtraindo (2) de (1):

$$(3a + b) - (a + b) = 5 - 4 \Rightarrow 2a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$$

Isso implica que $a > 0$, logo a função seria crescente, o que contraria a condição do enunciado ⇒ falsa.

d) f(6) = 1

Vamos ver se isso é possível.

Assumimos $f(6) = a \cdot 6 + b = 1$ ⇒

$$6a + b = 1$$

Usamos novamente a equação dada:

$$3a + b = 5 \quad \text{(1)}$$
$$6a + b = 1 \quad \text{(2)}$$

Subtraindo (1) de (2):

$$(6a + b) - (3a + b) = 1 - 5 \Rightarrow 3a = -4 \Rightarrow a = -\frac{4}{3}$$

Agora substituímos para achar $b$:

$$3a + b = 5 \Rightarrow 3(-\frac{4}{3}) + b = 5 \Rightarrow -4 + b = 5 \Rightarrow b = 9$$

→ Temos $a = -\frac{4}{3}$, que é negativo ⇒ função é decrescente, conforme o enunciado.
→ Também temos $f(3) = 3a + b = -4 + 9 = 5$ ⇒ satisfaz a condição.

- Essa alternativa é verdadeira.