(EEAR - CFS 1/2025) - QUESTÃO

Um objeto real foi colocado sobre o eixo principal a uma distância x do vértice de um espelho esférico côncavo, cujo raio de curvatura é de 20 cm. A imagem invertida desse objeto é formada a 15 cm do vértice do espelho. Quando este mesmo objeto é colocado sobre o eixo principal e a mesma distância x do vértice de um espelho esférico convexo, de raio de curvatura igual a 40 cm, a imagem agora será formada a uma distância de ____ cm do vértice. Os dois espelhos obedecem às condições de Gauss.

Dentre as alternativas a seguir, assinale a que preenche corretamente a lacuna no texto. 

a) 6 

b) 12 

c) 24 

d) 60

Vamos resolver essa questão passo a passo usando a equação de Gauss para espelhos esféricos, que é:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}$$

Onde:

• $f$ = distância focal do espelho

• $p$ = distância do objeto ao espelho (positiva se o objeto está na frente do espelho)

• $p'$ = distância da imagem ao espelho (positiva se a imagem está na frente do espelho — imagem real — e negativa se está atrás — imagem virtual)

Etapa 1: Espelho côncavo

Sabemos que:

• Raio de curvatura: $R = 20\, \text{cm}$
  

• A distância focal de um espelho esférico é $f = \frac{R}{2} \Rightarrow f = 10\, \text{cm}$
  

• A imagem é formada a 15 cm do vértice, e invertida, então é real: $p' = +15\, \text{cm}$
  

Vamos calcular a posição do objeto $p$:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} \Rightarrow \frac{1}{10} = \frac{1}{p} + \frac{1}{15}$$

Isolando $\frac{1}{p}$:

$$\frac{1}{p} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 2}{30} = \frac{1}{30} \Rightarrow p = 30\, \text{cm}$$

Então a distância $x$ do objeto ao espelho é 30 cm.

Etapa 2: Espelho convexo

• Raio de curvatura: $R = 40\, \text{cm}$
  

• Para espelhos convexos, o raio de curvatura é negativo: $R = -40\, \text{cm}$
  

• Então, $f = \frac{R}{2} = -20\, \text{cm}$
  

• O objeto está à mesma distância de antes: $p = +30\, \text{cm}$
  

Usando a equação de Gauss:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} \Rightarrow \frac{1}{-20} = \frac{1}{30} + \frac{1}{p'}$$ $$\frac{1}{p'} = \frac{1}{-20} - \frac{1}{30} = -\left(\frac{3 + 2}{60}\right) = -\frac{5}{60} = -\frac{1}{12} \Rightarrow p' = -12\, \text{cm}$$

Como a imagem é virtual, $p'$ é negativo, e a distância ao vértice é 12 cm (a magnitude).